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“问题不在于告诉他一个真理,而在于教他怎样去发现真理。” ——卢梭
人们在追求真理的路上可谓付出了太多,但这些付出也有自作自受的成分,有的时候真理都已经敲你家门了,你却装作不在家。
而这一现象普及于各行各业,在这其中数学界更是深受其害,估计是因为数学追求一个准确,所以难以接受如畅想般的新事物。
数学是一门看似简单、实则深奥的学问,自古以来多少人为之着迷,期间所诞生的学说理论也是数不胜数,从小到大积攒下来的数学课本就是最好的证明。
而在这些所有的学说中,非欧几何更是不可忽视的一个存在。
要说它的最大特点,就是在这个学说中平行线是可以相交的,得出这个惊人结论的就是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。
一位生前不被人认可,死后却成为了开启数学界新大门的名人。
01欧式几何中的第五公设
在说起罗巴切夫斯基和他的论证前,让我们先来了解一下传统的欧式几何。
要是没记错的话,欧式几何就是我们最早接触到的几何学,由古希腊的数学家欧几里德所创造。
当时欧几里德将他对数学的一些理解进行了总结,写出了《几何原本》一书。
在这本书中就出现了后来影响世界的五大公设,即:1、任何两点都可以用一条直线连接;2、线段都能无限延伸成直线;3、线段的任意端点为中心,它的半径都可以画成一个圆;4每个直角都相等;5、若两条线同时与第三条线相交,同在一边的两个内角和小于两个直角和,那么这两条直线会在这边相交。
最后这一点,也是说明两条平行的线不会相交。
根据这五个公设,最初的几何学也诞生了,它们的准确性几乎无法被质疑,但有一部分人却对这里面的最后一条感到不满,因为它并不能算是一种公设而是一种定理。
之所以人们会对最后一条产生疑惑,主要原因就是它这句话说得有点长了,和前面不押韵。
因此人们怀疑欧几里德将论证失败的定理,算进了公设里面,这也需要关注的一点,将第五公设降级成定理,那它无法被论证。
不要怀疑数学家的爱钻牛角尖的习惯,就是因为这不太完美的第五公设,无数学者为了将这句话缩短一点付出了自己的毕生心血,但得到的成果却寥寥无几。
比较成功的也有,比如说普莱菲尔,他就成功将这句话缩短了,即“过已知直线外一点,能切只能做一条直线与已知直线平行”,这句话后来也出现在了我们的课本上。
虽说照比之前那句话短了不少,但本质上的问题却没有得到解决,那就是他依旧无法被论证。
因此数学家们的苦恼没有就此结束,直到一个叫罗巴切夫斯基的人,打破了常规。
02罗巴切夫斯基与他的学说
罗巴切夫斯基生于18世纪末期的俄国,曾就读于喀山大学,后来留校任职。
同样是一个对数学痴迷的人,同样也为那第五公设绞尽了脑汁。
在针对第五公设的论证失败了多次之后,罗巴切夫斯基决定尝试一下其他人没有使用过的“反证法”。
所谓反证法,就是将原有的公设变成一种相对立的错误形式,然后用这种错误形式,去套原公设延伸出来的定理或有关的其他公设,如果得出论证全是错的,那就变相证明原有的公设是正确的。
因此罗巴切夫斯基作出了“过已知直线外一点,不光一条直线与已知直线平行”的假设(即两条平行线可以相交),然后用这条件假设与其他公设进行推演。
本是试一试的心态,但让罗巴切夫斯基没有想到的是,他的这条假设在推演的过程中,没有碰到任何的阻碍,不仅如此他还得出了一系列全新的定理。
这也就是说明,罗巴切夫斯基能能论证欧几里德第五定律的正确,反而是论证了它的错误,而且他还得到了一套全新的几何理论。
当时还没有“非欧几何”这一说,所以罗巴切夫斯基将他得出的理论命名为“想象几何”。
能看出来罗巴切夫斯基当时的不自信,但这也在情理之中,毕竟之前没有任何一个人打破欧式几何的常理。
经过再三思量,罗巴切夫斯基将他的发现,写成了一篇论文并发表。
当他的这一新说法被其他数学家知晓的时候,人们无一例对其表示了质疑,这就好比天明明是蓝的,你却偏偏说成是绿的一样。
而罗巴切夫斯基不仅没有得到认可,而且还遭到了其他保守派数学家的攻击,就数学家而言,有几个不是保守派。
当然在罗巴切夫斯基生活的同一时期,也有一些反对欧式几何的人,但因为害怕遭到攻击,这些人始终没敢承认自己的发现。
比如德国的数学家高斯,他在罗巴切夫斯基之前,就发现了另一种几何学说,但一直没有公开。
从当时的情况来看,高斯的做法很明智了,因为将成果公开的罗巴切夫斯基,最终连在喀山大学的职位都丢了。
离开学校之后,罗巴切夫斯基的苦难并没有结束,他最喜欢的大儿子因病离世,而他自己也患上了眼疾,最终失明。
1856年,罗巴切夫斯基在病痛的折磨中离世。
虽然罗巴切夫斯基不在了,但人们对知识的探索并没有停下,罗巴切夫斯基的理论在当时没有被承认,可还是给一些思想先进的人留下了深刻的印象。
而且在临终前,罗巴切夫斯基也将自己毕生的研究写成了书(眼睛失明,口述),因此非欧几何并没有成为罗巴切夫斯基的陪葬品。
就在他死了12年后,一个名叫贝特拉米的意大利数学家捡起了他的遗志,并对非欧几何作出了合理的解释。
大致的意思就是,将平面换成一个曲面,非欧几何就说得通了,虽然这样解释很肤浅,但也比较好让人理解。
就拿地球仪来说,每条经线都是直的,而且也都算是平行吧,但它们不还是相交在一起了吗。
03结语
在非欧几何被大众认可之后,很快成为了与欧式几何平起平坐的数学理论,同时也为人类的进步作出了巨大的贡献。
毫不夸张地说,爱因斯坦的相对论,就是建立在非欧几何的基础之上,由此可见数学绝对不是像我们想象的那么简单。
唯一可惜的就是,罗巴切夫斯基最终没有亲眼看到,他的理论被世人所接受,就像文章开头的那句话一样,人们在听到违背常识的真理时,往往对其都是排斥的。
来源:奇案故事本 |